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2007年考研數一答案

2016-01-12 10:46:45 文章庫 來源:http://www.missionegusto.com 瀏覽:

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2007年考研數一答案篇一:07年考研數學一真題及答案

2007年考研數學一真題

一、選擇題(本題共10小題,每小題4分,滿分40分,在每小題給的四個選項中,只有一項符合題目要求,把所選項前的字母填在題后括號內) (1) 當x?

0 ( )

A. 1??

B.

C. 1

D.1?

(2) 曲線y=

1

?ln(1?ex), 漸近線的條數為 ( ) x

A.0 B.1 C.2 D.3

(3)如圖,連續函數y=f(x)在區間[-3,-2],[2,3]上的圖形分別是直徑為1的上、下半圓周,在區間[-2,0],[0,2]的圖形分別是直徑為2的上、下半圓周,設F(x)=結論正確的是 ( ) A. F(3)=?

?

x

f(t)dt .則下列

3535

F(?2) B. F(3)=F(2) C. F(3)=?F(2) D. F(3)= ?F(?2) 4444

(4)設函數f(x)在x=0處連續,下列命題錯誤的是 ( )

f(x)f(x)?f(?x)

存在,則f(0)=0 B. 若lim 存在,則f(0)=0

x?0x?0xx

f(x)f(x)?f(?x)''

C. 若lim 存在,則f(0)=0 D. 若lim 存在,則f(0)=0

x?0x?0xx

A. 若lim

(5)設函數f(x)在(0, +?)上具有二階導數,且f"(x)?o, 令un=f(n)=1,2,…..n, 則下列結論正確的是 ( )

A.若u1?u2,則{un}必收斂 B. 若u1?u2,則{un}必發散 C. 若u1?u2,則{un}必收斂 D. 若u1?u2,則{un}必發散

(6)設曲線L:f(x, y) = 1 (f(x, y)具有一階連續偏導數),過第Ⅱ象限內的點M和第Ⅳ象限內的點N,T為L上從點M到N的一段弧,則下列小于零的是 ( ) A.

?(x,y)dx B. ?

r

r

f(x,y)dy C.

?

r

f(x,y)ds D.

?

r

f'x(x,y)dx?f'y(x,y)dy

(7)設向量組?1,?2,?3線形無關,則下列向量組線形相關的是: ( ) (A)

?1??2,?2??3,?3??1 (B) ?1??2,?2??3,?3??1

(C) ?1?2?2,?2?2?3,?3?2?1 (D)?1?2?2,?2?2?3,?3?2?1

?2?1?1??100?????

(8)設矩陣A=??12?1?,B=?010?,則A于B ( )

??1?12??000?????

(A) 合同,且相似

(C) 不合同,但相似

(B) 合同,但不相似 (D)既不合同,也不相似

(9)某人向同一目標獨立重復射擊,每次射擊命中目標的概率為p?0?p?1?,則此人第4次射擊恰好第2次命中目標的概率為: ( ) (A)3p(1?p)2 (C) 3p2(1?p)2

(B)6p(1?p)2 (D) 6p2(1?p)2

(10) 設隨即變量(X,Y)服從二維正態分布,且X與Y不相關,fX(x),fY(y)分別表示X,Y的概率密度,則在Y=y的條件下,X的條件概率密度fX(A)fX(x)

(B) fY(y)

|Y

(x|y)為 ( )

(C) fX(x)fY(y)

(D)

fX(x)

fY(y)

二.填空題:11-16小題,每小題4分,共24分,請將答案寫在答題紙指定位置上 (11)

?

2

1

11

xdx=_______. 3x

?z

=______. ?x

yx

(12)設f(u,v)為二元可微函數,z?f(x,y),則

(13)二階常系數非齊次線性方程y''?4y'?3y?2e2x的通解為y=____________. (14)設曲面

?

:|x|?|y|?|z|?1,則

???

?

(x?|y|)ds=_____________.

?0

?0

(15)設矩陣A=?

?0??0

10000100

0??0?3

,則A的秩為________. 1??0?

1

的概率為________. 2

(16)在區間(0,1)中隨機地取兩個數,則這兩個數之差的絕對值小于

三.解答題:17~24小題,共86分.請將解答寫在答題紙指定的位置上.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

(17)(本題滿分11分)求函數f(x,y)?x2?2y2?x2y2在區域D?{(x,y)x2?y2?4,y?0}上的最大值和最小值。

(18)(本題滿分10分)計算曲面積分

I???xzdydz?2xydzdx?3xydxdy,

?

2

y2

其中?為曲面z?1?x?(0?z?1)的上側.

4

(19)(本題是11分)

設函數f(x),g(x)在[a,b]上連續,在(a,b)內二階導數且存在相等的最大值, f(a)?g(a),f(b)?g(b)證明:存在??(a,b),使得f''(?)?g''(?).

(20)(本題滿分10分)

設冪級數?anxn在(??,??)內收斂,其和函數y(x)滿足

n?0?

y''?2xy'?4y?0,y(0)?0,y'(0)?12

an,n?1,2,?;n?1

(2)求y(x)的表達式.(1)證明an?2?

(21)(本題滿分11分)

?x1?x2?x3?0?

設線性方程組?x1?2x2?ax3?0

?2x?4x?ax3?02?1與方程x1?2x2?x3?a?1

(2)

有公共解,求a的值及所有公共解.

(22)設3階對稱矩陣A的特征向量值?1?1,?2?2,?3??2,?1?(1,?1,1)T是A的屬于?1的一個特征向量,記B?A?4A?E其中E為3階單位矩陣

5

3

(1)

(I)驗證?1是矩陣B的特征向量,并求B的全部特征值的特征向量; (II)求矩陣B.

(23)設二維變量(x,y)的概率密度為 f(x,y)??

0?x?1,0?y?1?2?x?y

其他0?

(I)求P{X?2Y}; (II)求z?X?Y的概率密度.

(24)設總體X的概率密度為

?1

0?x???2?

??1

??x?1 f(x,?)??

2(1??)??0其他??

X1,X2,…Xn是來自總體X的簡單隨機樣本,是樣本均值

(I)求參數?的矩估計量;

(II)判斷42是否為?2的無偏估計量,并說明理由.

2007年考研數學一真題解析

一、選擇題(本題共10小題,每小題4分,滿分40分,在每小題給的四個選項中,只有一項符合題目要求,把所選項前的字母填在題后括號內)

(2) 當x?

0 (B)

A. 1??

B.

C. 1

D.1?

(2) 曲線y=

1

?ln(1?ex), 漸近線的條數為 (D) x

A.0 B.1 C.2 D.3

(3)如圖,連續函數y=f(x)在區間[-3,-2],[2,3]上的圖形分別是直徑為1的上、下半圓周,在區間[-2,0],[0,2]的圖形分別是直徑為2的上、下半圓周,設F(x)=結論正確的是 (C) A. F(3)=?

?

x

f(t)dt .則下列

3535

F(?2) B. F(3)=F(2) C. F(3)=?F(2) D. F(3)= ?F(?2) 4444

(4)設函數f(x)在x=0處連續,下列命題錯誤的是 (C)

f(x)f(x)?f(?x)

存在,則f(0)=0 B. 若lim 存在,則f(0)=0

x?0x?0xx

f(x)f(x)?f(?x)''

C. 若lim 存在,則f(0)=0 D. 若lim 存在,則f(0)=0

x?0x?0xx

A. 若lim

(5)設函數f(x)在(0, +?)上具有二階導數,且f"(x)?o, 令un=f(n)=1,2,…..n, 則下列結論正確的是(D)

A.若u1?u2,則{un}必收斂 B. 若u1?u2,則{un}必發散 C. 若u1?u2,則{un}必收斂 D. 若u1?u2,則{un}必發散

(6)設曲線L:f(x, y) = 1 (f(x, y)具有一階連續偏導數),過第Ⅱ象限內的點M和第Ⅳ象限內的點N,T為L上從點M到N的一段弧,則下列小于零的是 (B) A.

?(x,y)dx B. ?

r

r

f(x,y)dy C.

?

r

f(x,y)ds D.

?

r

f'x(x,y)dx?f'y(x,y)dy

(7)設向量組?1,?2,?3線形無關,則下列向量組線形相關的是: (A) (A)

?1??2,?2??3,?3??1 (B) ?1??2,?2??3,?3??1

(C) ?1?2?2,?2?2?3,?3?2?1 (D)?1?2?2,?2?2?3,?3?2?1

?2?1?1??100?????

(8)設矩陣A=??12?1?,B=?010?,則A于B, (B)

??1?12??000?????

(A) 合同,且相似

(C) 不合同,但相似

(B) 合同,但不相似 (D)既不合同,也不相似

2007年考研數一答案篇二:2007考研數學(一)試題及詳細答案解析

2007年碩士研究生入學考試數學一試題及答案解析

一、選擇題:(本題共10小題,每小題4分,共40分. 每小題給出的四個選項中,只有一項符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內)

(1) 當x

?0?

(A) 1?

(B) ln

(C) 1.

(D) 1? [ B ]

【分析】 利用已知無窮小量的等價代換公式,盡量將四個選項先轉化為其等價無窮小量,再進行比較分析找出正確答案.

【詳解】 當x

?

0時,有1??

??(?1)~

1~

;

1?~

(2) 曲線y?

11

2?x. 利用排除法知應選(B). 22

1

?ln(1?ex),漸近線的條數為 x

(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3. [ D ]

【分析】 先找出無定義點,確定其是否為對應垂直漸近線;再考慮水平或斜漸近線。 【詳解】 因為lim[?ln(1?e)]??,所以x?0為垂直漸近線;

x?0

1x

x

又 lim[?ln(1?e)]?0,所以y=0為水平漸近線;

x???

1x

x

y1ln(1?ex)ln(1?ex)ex

]?lim進一步,lim?lim[2?=lim?1, xx???xx???xx???x???xx1?e

lim[y?1?x]?lim[?ln(1?e)?x]=lim[ln(1?e)?x]

x???

x????x

1

x

xx

x???

=lim[lne(1?e)?x]?limln(1?e)?0,

x???

x???

x?x

于是有斜漸近線:y = x. 故應選(D).

(3) 如圖,連續函數y=f(x)在區間[?3,?2],[2,3]上的圖形分別是直徑為1的上、下半圓周,在區間[?2,0],[0,2]的圖形分別是直徑為2的上、下半圓周,設F(x)?則下列結論正確的是

?

x

f(t)dt.

35

F(?2). (B) F(3)?F(2). 4435

(C) F(?3)?F(2). (D) F(?3)??F(?2). [ C ]

44

(A) F(3)??

【分析】 本題考查定積分的幾何意義,應注意f(x)在不同區間段上的符號,從而搞清

楚相應積分與面積的關系。

【詳解】 根據定積分的幾何意義,知F(2)為半徑是1的半圓面積:F(2)?

1

?, 2

F(3)是兩個半圓面積之差:F(3)?

1133

[??12???()2]??=F(2), 2284

3

?3

F(?3)??

?30

f(x)dx???f(x)dx??f(x)dx?F(3)

因此應選(C).

(4) 設函數f(x)在x=0處連續,下列命題錯誤的是

f(x)f(x)?f(?x)

存在,則f(0)=0. (B) 若lim存在,則f(0)=0.

x?0x?0xx

f(x)f(x)?f(?x)

(C) 若lim存在,則f?(0)存在. (D) 若lim存在,則f?(0)存在

x?0x?0xx

(A) 若lim

[ D ] 【分析】 本題為極限的逆問題,已知某極限存在的情況下,需要利用極限的四則運算等進行分析討論。

【詳解】 (A),(B)兩項中分母的極限為0,因此分子的極限也必須為0,均可推導出f(0)=0. 若lim

x?0

f(x)f(x)?f(0)f(x)

存在,則f(0)?0,f?(0)?lim?lim?0,可見(C)也正確,

x?0x?0xx?0x

故應選(D). 事實上,可舉反例:f(x)?x在x=0處連續,且

lim

x?0

x??xf(x)?f(?x)

=lim?0存在,但f(x)?x在x=0處不可導。 x?0xx

(5) 設函數f (x)在(0,??)上具有二階導數,且f??(x)?0. 令un?f(n)(n?1,2,?,), 則下列結論正確的是

(A) 若u1?u2,則{un}必收斂. (B) 若u1?u2,則{un}必發散.

(C) 若u1?u2,則{un}必收斂. (D) 若u1?u2,則{un}必發散. [ D ]

【分析】 可直接證明或利用反例通過排除法進行討論。

【詳解】 設f(x)=x, 則f (x)在(0,??)上具有二階導數,且f??(x)?0,u1?u2,但

2

{un}?{n2}發散,排除(C); 設f(x)=

1

, 則f(x)在(0,??)上具有二階導數,且x

1

f??(x)?0,u1?u2,但{un}?{收斂,排除(B); 又若設f(x)??lnx,則f(x)在(0,??)上

n

具有二階導數,且f??(x)?0,u1?u2,但{un}?{?lnn}發散,排除(A). 故應選(D).

(6) 設曲線L:f(x,y)?1(f(x,y)具有一階連續偏導數),過第II象限內的點M和第IV象限內的點N,T為L上從點M到點N的一段弧,則下列小于零的是

(A) (C)

??

T

f(x,y)dx. (B) f(x,y)ds. (D)

??

T

f(x,y)dy.

fx?(x,y)dx?fy?(x,y)dy. [ B ]

TT

【分析】 直接計算出四個積分的值,從而可確定正確選項。

【詳解】 設M 、N點的坐標分別為M(x1,y1),N(x2,y2),x1?x2,y1?y2. 先將曲線方程代入積分表達式,再計算有:

??

T

f(x,y)dx??dx?x2?x1?0;

T?

T

f(x,y)dy??dy?y2?y1?0;

T

T

T

f(x,y)ds??ds?s?0;

T?

T

fx?(x,y)dx?fy?(x,y)dy??df(x,y)?0.

故正確選項為(B).

(7) 設向量組?1,?2,?3線性無關,則下列向量組線性相關的是

(A)

?1??2,?2??3,?3??1. (B) ?1??2,?2??3,?3??1.

(C) ?1?2?2,?2?2?3,?3?2?1. (D)

【詳解】用定義進行判定:令

?1?2?2,?2?2?3,?3?2?1. [ A ]

x1(?1??2)?x2(?2??3)?x3(?3??1)?0,

得 (x1?x3)?1?(?x1?x2)?2?(?x2?x3)?3?0.

?x3?0,?x1    

?

?0, 因?1,?2,?3線性無關,所以 ??x1?x2   

?   ?x2?x3?0.?

1

又 ?1

01?1

?0?0, 1

故上述齊次線性方程組有非零解, 即?1??2,?2??3,?3??1線性相關. 類似可得(B), (C), (D)中的向量組都是線性無關的.

?2?1?1??100?????

(8) 設矩陣A???12?1?, B??010?, 則A與B

??1?12??000?????

(A) 合同, 且相似. (B) 合同, 但不相似 .

(C) 不合同, 但相似. (D) 既不合同, 又不相似. [ B ]

【詳解】 由|?E?A|?0 得A的特征值為0, 3, 3, 而B的特征值為0, 1, 1,從而A與B不相似.

又r(A)=r(B)=2, 且A、B有相同的正慣性指數, 因此A與B合同. 故選(B) .

(9) 某人向同一目標獨立重復射擊,每次射擊命中目標的概率為p(0<p<1), 則此人第4次射擊恰好第2次命中目標的概率為

(A) 3p(1?p). (B) 6p(1?p).

2

2

(C) 3p2(1?p)2. (D) 6p2(1?p)2. [ C ] 【詳解】 “第4次射擊恰好第2次命中”表示4次射擊中第4次命中目標, 前3次射擊中有1次命中目標, 由獨立重復性知所求概率為:C3p(1?p). 故選(C) .

(10) 設隨機變量(X,Y)服從二維正態分布,且X與Y不相關,fX(x)fY(y)分別表示X,

1

2

2

Y的概率密度,則在Y=y的條件下,X的條件概率密度fX|Y(x|y)為

(A) fX(x). (B) fY(y). (C ) fX(x)fY(y). (D)

fX(x)

. [ A ] fY(y)

【詳解】 因(X,Y)服從二維正態分布,且X與Y不相關,故X與Y相互獨立,于是

fX|Y(x|y)=fX(x). 因此選(A) .

二、填空題:(11-16小題,每小題4分,共24分. 把答案填在題中橫線上)

(11)

?

2

1

1111

x

dx= e2. 3

2x

1

?tx

【分析】 先作變量代換,再分部積分。 【詳解】

?

2

1

1

dx?x3

1x

?

1

23t1

te(?

t

11t

)dt?te122dt t

=

tde

1

2

1

?te

t112

11

??1edt?e2.

22

1

ty

x

(12) 設f(u,v)為二元可微函數,z?f(x,y),則【詳解】 利用復合函數求偏導公式,有

?zy?1x

=f1??yx?f2??ylny. ?x

?zy?1x

=f1??yx?f2??ylny. ?x

2x

(13) 二階常系數非齊次線性微分方程y???4y??3y?2e

的通解為

y?C1ex?C2e3x?2e2x. 其中C1,C2為任意常數.

【詳解】 特征方程為

?2?4??3?0,解得?1?1,?2?3. 可見對應齊次線性微分方

x

3x

程y???4y??3y?0的通解為 y?C1e?C2e.

設非齊次線性微分方程y???4y??3y?2e的特解為y?ke,代入非齊次方程可得k= ?2. 故通解為y?C1e?C2e?2e.

(14) 設曲面?:x?y?z?1,則

x

3x

2x

2x

*2x

(x?|

y|)dS=

?

【詳解】 由于曲面?關于平面x=0對稱,因此有輪換對稱性,于是

xdS=0. 又曲面?:x?y?z?1具

?

(x?|y|)dS=|y|dS=|x|dS=|z|dS=

?

?

?

?

1

(|x|?|y|?|z|)dS 3?

=

113dS ??

8?332?

100?

?

010?3

, 則A的秩為1.

001?

?

000??

?0?0

(15) 設矩陣A??

?0??0?

?0??03

【詳解】 依矩陣乘法直接計算得 A??

0??0?

001?

?

000?3

, 故r()=1. A?000?

000??

13

(16) 在區間(0, 1)中隨機地取兩個數, 則兩數之差的絕對值小于的概率為.

24

【詳解】 這是一個幾何概型, 設x, y為所取的兩個數, 則樣本空間

??{(x,y)|0?x,y?1}, 記A?{(x,y)|(x,y)??,|x?y|?.

SAS?

1

2

故 P(A)?

3

3

??,其中SA,S?分別表示A與? 的面積. 14

三、解答題:(17-24小題,共86分. ) (17) (本題滿分11分)

求函數f(x,y)?x?2y?xy在區域D?{(x,y)x?y?4,y?0}上的最大值和最小值。

【分析】 由于D為閉區域,在開區域內按無條件極值分析,而在邊界上按條件極值討論即可。

【詳解】 因為

2

2

2

2

2

2

fx?(x,y)?2x?2xy,fy?(x,y)?4y?2x2y,解方程:

2

??fx??2x?2xy?0,

? 得開區域內的可能極值點為(

. 2

?f?4y?2xy?0?

?y

其對應函數值為f(?2.

又當y=0 時,f(x,y)?x在?2?x?2上的最大值為4,最小值為0.

2

2007年考研數一答案篇三:2007年數學一考研試題和答案

北京文登學校 咨詢電話:010-62155566、62289409

2007年研究生入學考試數學一試題

一、選擇題:1~10小題,每小題4分,共40分. 在每小題給出的四個選項中,只有一項符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內. (1)當x?

0?時,與 (A

)1?

(2

(B

)ln

(C

?1 (D

)1?cos [ ]

(A) ] (3圓周,t,

(A)(C) ]

(4)設函數f(x)在x?0處連續,下列命題錯誤的是: (A)若lim

f(x)xf(x)x

x?0

存在,則f(0)?0 (B)若lim

f(x)?f(?x)

xf(x)?f(?x)

x

x?0

存在,則f(0)?0 . 存在,則f?(0)?0.

(C)若lim

x?0

存在,則f?(0)?0 (D)若lim

x?0

[ ]

(5)設函數f(x)在(0,??)上具有二階導數,且f??(x)?0,令un?f(n),則下列結論正確的是:

北京文登學校 咨詢電話:010-62155566、62289409

(A) 若u1?u2 ,則?un?必收斂. (B) 若u1?u2 ,則?un?必發散

(C) 若u1?u2 ,則?un?必收斂. (D) 若u1?u2 ,則?un?必發散. [ ]

(6)設曲線L:f(x,y)?1(f(x,y)具有一階連續偏導數),過第Ⅱ象限內的點M和第Ⅳ

象限內的點N,T為L上從點M到點N的一段弧,則下列小于零的是 (A)?f(x,y)dx. (B)?f(x,y)dy

T

T

(C)?f(x,y)ds. (D)?fx?(x,y)dx?fy?(x,y)dy. [ ]

T

T

(7)設向量組?1,?2,?3

(A) ?1??2,?2??3,?3??1

(B) ?1??2,?2??3,?31

(D) ?2?22?3,?32?1 [ ] 10

A ?(C) ?1?2?2,?2?2?3,?3?2?1.

?12?1

?1??1

???1,B?0????02??

?2

?

(8)設矩陣A???1

??1?

(A) 合同且相似 .

(C) 不合同,但相似. 既不合同也不相似 [ ] (9)p(0?p?1),則此人第4次射擊恰好第2 (A)?p). (B)6p(1?p).

(C)3p (D)6p(1?p) [ ] (10)設隨機變量,Y?服從二維正態分布,且X與Y不相關,fX(x),fY(y)分別表示

X,Y的概率密度,則在Y?y的條件下,X的條件概率密度fX|Y(x|y)為

2

2

2

2

2

(A) fX(x). (B) fY(y). (C) fX(x)fY(y). (D)

fX(x)fY(y)

. [ ]

二、填空題:11~16小題,每小題4分,共24分. 把答案填在題中橫線上. (11)

?

2

1x

2

1

1

xdx? =__________.

北京文登學校 咨詢電話:010-62155566、62289409

(12) 設f(u,v)是二元可微函數,z?f(xy,yx),則

?z?x

? __________.

(13) 二階常系數非齊次微分方程y???4y??3y?2e2x的通解為y?________. (14) 設曲面?:|x|?|y|?|z|?1,則????x?|y|?dS?

?

?0

?0

(15)設矩陣A??

?0??0

1000

0100

0??0

?,則A3的秩為. 1??0?

(16)

(17) (18) 其中?(19)

f(a)?(20) y???2xy??4y?0,y(0)?0,y?(0)?1.

(Ⅰ)證明:an?2?

2n?1

an,n?1,2?;

(II)求y(x)的表達式.

(21) (本題滿分11分)

北京文登學校 咨詢電話:010-62155566、62289409

?x1?x2?x3?0?

設線性方程組?x1?2x2?ax3?0與方程x1?2x2?x3?a?1有公共解,求a的值及

?2

?x1?4x2?ax3?0

所有公共解.

(22) (本題滿分11分)

設三階對稱矩陣A的特征向量值?1?1,?2?2,?3??2,?1?(1,?1,1)T是A的屬于?1的一個特征向量,記B?A5?4A3?E,其中E為3階單位矩陣.

(I)驗證?1是矩陣B的特征向量,并求B的全部特征值與特征向量; (II)求矩陣B. (23) (本題滿分11分)

設二維隨機變量(X,Y)的概率密度為

?2?x?y,?

0,

0x?

,?0y?

1

f(x,y)??(I)求P?X?2Y?;

.

(II) 求Z?X?Y

北京文登學校 咨詢電話:010-62155566、62289409

1. 【分析】本題為等價無窮小的判定,利用定義或等價無窮小代換即可.

1?【詳解】當x?

0?時,

?

1?

,1?cos?

1

2

2

?

12

x,

故用排除法可得正確選項為(B).

?0

lim?

?lim?

x?0

事實上,lim

x?0

?

?1,

.

【評注 2. 【判斷.

【詳解】 x? x? b

【評注.

注意當曲線存在水平漸近線時,斜漸近線不存在. 本題要注意e當

x???,x???時的極限不同.

x

類似例題見文登強化班筆記《高等數學》第6講第4節【例12】,《數學復習指南》(理工類)第一篇【例6.30】,【例6.31】.

3. 【分析】本題實質上是求分段函數的定積分. 【詳解】利用定積分的幾何意義,可得 1?1?

F(3)??1?????

22?2?

2

1

2

38

?,F(2)?

12

?2?

2

12

?,

2007年考研數一答案篇四:2007考研數一真題及答案解析

2007年碩士研究生入學考試數學一試題及答案解析

一、選擇題:(本題共10小題,每小題4分,共40分. 每小題給出的四個選項中,只有一項符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內)

(1) 當x

?0?

等價的無窮小量是 (A) 1?

(B) ln

.

(C) 1.

(D) 1?. [ B ]

【分析】 利用已知無窮小量的等價代換公式,盡量將四個選項先轉化為其等價無窮小量,再進行比較分析找出正確答案.

【詳解】 當x

?

0時,有1??

??(?1)~

1~

;

1?~

(2) 曲線y?

11

2?x. 利用排除法知應選(B). 22

1

?ln(1?ex),漸近線的條數為 x

(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3. [ D ]

【分析】 先找出無定義點,確定其是否為對應垂直漸近線;再考慮水平或斜漸近線。 【詳解】 因為lim[?ln(1?e)]??,所以x?0為垂直漸近線;

x?0

1x

x

又 lim[?ln(1?e)]?0,所以y=0為水平漸近線;

x???

1x

x

y1ln(1?ex)ln(1?ex)ex

]?lim進一步,lim?lim[2?=lim?1, xx???xx???xx???x???xx1?e

x

lim[y?1?x]?lim[?ln(1?e)?x]=lim[ln(1?e)?x]

x???

x???

x???

x?x?x

=lim[lne(1?e)?x]?limln(1?e)?0,

x???

x???

1x

x

于是有斜漸近線:y = x. 故應選(D).

(3) 如圖,連續函數y=f(x)在區間[?3,?2],[2,3]上的圖形分別是直徑為1的上、下半圓周,在區間[?2,0],[0,2]的圖形分別是直徑為2的上、下半圓周,設F(x)?則下列結論正確的是

?

x

f(t)dt.

35

F(?2). (B) F(3)?F(2). 4435

(C) F(?3)?F(2). (D) F(?3)??F(?2). [ C ]

44

(A) F(3)??

【分析】 本題考查定積分的幾何意義,應注意f(x)在不同區間段上的符號,從而搞清

楚相應積分與面積的關系。

【詳解】 根據定積分的幾何意義,知F(2)為半徑是1的半圓面積:F(2)?

1

?, 2

F(3)是兩個半圓面積之差:F(3)?

1133

[??12???()2]??=F(2), 2284

3

?3

F(?3)??

?3

f(x)dx???f(x)dx??f(x)dx?F(3)

因此應選(C).

(4) 設函數f(x)在x=0處連續,下列命題錯誤的是

f(x)f(x)?f(?x)

存在,則f(0)=0. (B) 若lim存在,則f(0)=0.

x?0x?0xx

f(x)f(x)?f(?x)

(C) 若lim存在,則f?(0)存在. (D) 若lim存在,則f?(0)存在

x?0x?0xx

(A) 若lim

[ D ] 【分析】 本題為極限的逆問題,已知某極限存在的情況下,需要利用極限的四則運算等進行分析討論。

【詳解】 (A),(B)兩項中分母的極限為0,因此分子的極限也必須為0,均可推導出f(0)=0. 若lim

x?0

f(x)f(x)?f(0)f(x)

存在,則f(0)?0,f?(0)?lim?lim?0,可見(C)也正確,

x?0x?0xx?0x

故應選(D). 事實上,可舉反例:f(x)?x在x=0處連續,且

lim

x?0

x??xf(x)?f(?x)

=lim?0存在,但f(x)?x在x=0處不可導。 x?0xx

(5) 設函數f (x)在(0,??)上具有二階導數,且f??(x)?0. 令un?f(n)(n?1,2,?,), 則下列結論正確的是

(A) 若u1?u2,則{un}必收斂. (B) 若u1?u2,則{un}必發散.

(C) 若u1?u2,則{un}必收斂. (D) 若u1?u2,則{un}必發散. [ D ]

【分析】 可直接證明或利用反例通過排除法進行討論。

【詳解】 設f(x)=x, 則f (x)在(0,??)上具有二階導數,且f??(x)?0,u1?u2,但

2

{un}?{n2}發散,排除(C); 設f(x)=

1

, 則f(x)在(0,??)上具有二階導數,且x

1

f??(x)?0,u1?u2,但{un}?{收斂,排除(B); 又若設f(x)??lnx,則f(x)在(0,??)上

n

具有二階導數,且f??(x)?0,u1?u2,但{un}?{?lnn}發散,排除(A). 故應選(D).

(6) 設曲線L:f(x,y)?1(f(x,y)具有一階連續偏導數),過第II象限內的點M和第IV象限內的點N,T為L上從點M到點N的一段弧,則下列小于零的是

(A) (C)

??

T

f(x,y)dx. (B) f(x,y)ds. (D)

??

T

f(x,y)dy.

fx?(x,y)dx?fy?(x,y)dy. [ B ]

TT

【分析】 直接計算出四個積分的值,從而可確定正確選項。

【詳解】 設M 、N點的坐標分別為M(x1,y1),N(x2,y2),x1?x2,y1?y2. 先將曲線方程代入積分表達式,再計算有:

??

T

f(x,y)dx??dx?x2?x1?0;

T?

T

f(x,y)dy??dy?y2?y1?0;

T

T

T

f(x,y)ds??ds?s?0;

T?

T

fx?(x,y)dx?fy?(x,y)dy??df(x,y)?0.

故正確選項為(B).

(7) 設向量組?1,?2,?3線性無關,則下列向量組線性相關的是

(A) ?1??2,?2??3,?3??1. (B) ?1??2,?2??3,?3??1.

(C) ?1?2?2,?2?2?3,?3?2?1. (D) ?1?2?2,?2?2?3,?3?2?1. [ A ]

【詳解】用定義進行判定:令

x1(?1??2)?x2(?2??3)?x3(?3??1)?0,

得 (x1?x3)?1?(?x1?x2)?2?(?x2?x3)?3?0.

?x3?0,?x1    

?

?0, 因?1,?2,?3線性無關,所以 ??x1?x2   

?   ?x2?x3?0.?

1

又 ?1

01?1

?0?0, 1

故上述齊次線性方程組有非零解, 即?1??2,?2??3,?3??1線性相關. 類似可得(B), (C), (D)中的向量組都是線性無關的.

?2?1?1??100?

????

(8) 設矩陣A???12?1?, B??010?, 則A與B

??1?12??000?????

(A) 合同, 且相似. (B) 合同, 但不相似 .

(C) 不合同, 但相似. (D) 既不合同, 又不相似. [ B ]

【詳解】 由|?E?A|?0 得A的特征值為0, 3, 3, 而B的特征值為0, 1, 1,從而A與B不相似.

又r(A)=r(B)=2, 且A、B有相同的正慣性指數, 因此A與B合同. 故選(B) .

(9) 某人向同一目標獨立重復射擊,每次射擊命中目標的概率為p(0<p<1), 則此人第4次射擊恰好第2次命中目標的概率為

(A) 3p(1?p). (B) 6p(1?p).

2

2

(C) 3p(1?p). (D) 6p(1?p). [ C ] 【詳解】 “第4次射擊恰好第2次命中”表示4次射擊中第4次命中目標, 前3次射擊中有1次命中目標, 由獨立重復性知所求概率為:C3p(1?p). 故選(C) .

(10) 設隨機變量(X,Y)服從二維正態分布,且X與Y不相關,fX(x)fY(y)分別表示X,

1

2

2

2222

Y的概率密度,則在Y=y的條件下,X的條件概率密度fX|Y(x|y)為

(A) fX(x). (B) fY(y). (C ) fX(x)fY(y). (D)

fX(x)

. [ A ] fY(y)

【詳解】 因(X,Y)服從二維正態分布,且X與Y不相關,故X與Y相互獨立,于是

fX|Y(x|y)=fX(x). 因此選(A) .

二、填空題:(11-16小題,每小題4分,共24分. 把答案填在題中橫線上)

(11)

?

2

1

1111

x

dx= e2. 3

2x

1

?tx

【分析】 先作變量代換,再分部積分。 【詳解】

?

2

1

1

dx?3x

1x

?

1

23t1

te(?

t

11t

)dt?tedt 12t2

=

1

1

2

tde?te

t112

11

?1edt?e2.

22

1

t

(12) 設f(u,v)為二元可微函數,z?f(x,y),則【詳解】 利用復合函數求偏導公式,有

yx

?zy?1x

=f1??yx?f2??ylny. ?x

?zy?1x

=f1??yx?f2??ylny. ?x

2x

(13) 二階常系數非齊次線性微分方程y???4y??3y?2e

的通解為

y?C1ex?C2e3x?2e2x. 其中C1,C2為任意常數.

【詳解】 特征方程為 ??4??3?0,解得?1?1,?2?3. 可見對應齊次線性微分方程y???4y??3y?0的通解為 y?C1e?C2e.

設非齊次線性微分方程y???4y??3y?2e得k= ?2. 故通解為y?C1e?C2e

x

3x

2

x3x

2x

的特解為y?ke,代入非齊次方程可

*2x

?2e2x.

(14) 設曲面?:x?y?z?1,則

(x?|

y|)dS=

?

【詳解】 由于曲面?關于平面x=0對稱,因此有輪換對稱性,于是

xdS=0. 又曲面?:x?y?z?1具

?

(x?|y|)dS=|y|dS=|x|dS=|z|dS=

?

?

?

?

1

(|x|?|y|?|z|)dS 3?

=

11dS??

8? 332?100?

?

010?

, 則A3的秩為1.

001?

?

000??

?0??0(15) 設矩陣A??0??0?

?0??03

【詳解】 依矩陣乘法直接計算得 A??

0??0?

001?

?

000?3

, 故r()=1. A?000?

000??

13

(16) 在區間(0, 1)中隨機地取兩個數, 則兩數之差的絕對值小于的概率為.

24

【詳解】 這是一個幾何概型, 設x, y為所取的兩個數, 則樣本空間

??{(x,y)|0?x,y?1}, 記A?{(x,y)|(x,y)??,|x?y|?.

SAS?

1

2

故 P(A)?

3

3

??,其中SA,S?分別表示A與? 的面積. 14

三、解答題:(17-24小題,共86分. ) (17) (本題滿分11分)

2222

求函數f(x,y)?x?2y?xy在區域D?{(x,y)x?y?4,y?0}上的最大值和

2

2

最小值。

【分析】 由于D為閉區域,在開區域內按無條件極值分析,而在邊界上按條件極值討論即可。

【詳解】 因為

fx?(x,y)?2x?2xy2,fy?(x,y)?4y?2x2y,解方程:

2

??fx??2x?2xy?0,

? 得開區域內的可能極值點為(

. 2

?f?4y?2xy?0?

?y

其對應函數值為f(?2.

又當y=0 時,f(x,y)?x在?2?x?2上的最大值為4,最小值為0.

2

2007年考研數一答案篇五:07考研數一真題及答案

2007年碩士研究生入學考試數學一試題及答案解析

一、選擇題:(本題共10小題,每小題4分,共40分. 每小題給出的四個選項中,只有一項符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內) (2) 曲線y?

1x

?ln(1?e),漸近線的條數為_______

1x

?ln(1?e)]??,所以x?0為垂直漸近線;

x

x

【詳解】 因為lim[

x?0

又 lim[

x???

1x

?ln(1?e)]?0,所以y=0為水平漸近線;

x

進一步,lim

yx

x???

?lim[

x???

1x

2

?

ln(1?e)

x

x

]?lim

x

ln(1?e)

x

x

x???

=lim

e

xx

x???

1?e

?1,

1?] limy[??x

x???

1

lm?[x???x

?x

?eln(?1x=lim)[ln(1]?e)?x]

x????x

x

=lim[lne(1?e)?x]?limln(1?e)?0,

x???

x???

x

于是有斜漸近線:y = x. 故3條 ?2

?

(8) 設矩陣A???1

??1?

?12?1

?1??1???1?, B??0

?02???

010

0?

?

0?, 則A與B_______(填是否合同,相0??

似)

【詳解】 由|?E?A|?0 得A的特征值為0, 3, 3, 而B的特征值為0, 1, 1,從而A與B不相似.

又r(A)=r(B)=2, 且A、B有相同的正慣性指數, 因此A與B合同.

二、填空題:(11-16小題,每小題4分,共24分. 把答案填在題中橫線上)

(11)

?

2

1x

3

1

1

xdx=_______

【分析】 先作變量代換,再分部積分。

1

【詳解】 ?

2

1x

3

1x

x

?t

1

1

dx?

?

1

2

1

te(?

3t

1t

2

)dt?

?

t

112

tedt

1

t

=?1tde?te

2

t

t112

?

?

112

edt?

12

e2.

?z?x

(12) 設f(u,v)為二元可微函數,z?f(x,y),則【詳解】 利用復合函數求偏導公式,有

?z?x

yx

=_______

y?1x

=f1??yx?f2??ylny.

(13) 二階常系數非齊次線性微分方程y???4y??3y?2e

2x

的通解為_______ 其中

C1,C2為任意常數.

【詳解】 特征方程為 ?2?4??3?0,解得?1?1,?2?3. 可見對應齊次線性微分方程y???4y??3y?0的通解為 y?C1ex?C2e3x.

設非齊次線性微分方程y???4y??3y?2e2x的特解為y*?ke2x,代入非齊次方程可得k= ?2. 故通解為y?C1ex?C2e3x?2e2x.

(14) 設曲面?:x?y?z?1,則(x?|y|)dS= _______

?

【詳解】 由于曲面?關于平面x=0對稱,因此xdS=0. 又曲面?:x?y?z?1具

?

有輪換對稱性,于是

?

(x?|y|)dS=|y|dS=|x|dS=|z|dS=

?

?

?

13

(|x|?|y|?|z|)dS

?

=

13

?

dS?

13

?8?

32

?0?0

(15) 設矩陣A??

?0??0?

1000

0100

0??0?

, 則A3的秩為_______. 1??0??

?0

??03

【詳解】 依矩陣乘法直接計算得 A??

0??0?

0000

0000

1??0?

, 故r(A3)=1. ?0?0??

三、解答題:(17-24小題,共86分. ) (17) (本題滿分11分)

求函數f(x,y)?x?2y?xy在區域D?{(x,y)x2?y2?4,y?0}上的最大值和最小值。

【分析】 由于D為閉區域,在開區域內按無條件極值分析,而在邊界上按條件極值討論即可。

【詳解】 因為

2

fx?(x,y)?2x?2xy,fy?(x,y)?4y?2xy,解方程: 2

2

2

2

2

??fx??2x?2xy?0,

?

得開區域內的可能極值點為(.

2

?f?4y?2xy?0??y

其對應函數值為f(?2.

又當y=0 時,f(x,y)?x2在?2?x?2上的最大值為4,最小值為0. 當x2?y2?4,y?0,?2?x?2,構造拉格朗日函數 F(x,y?,?)

2

x?2y?

22

x?y?

2

(?x

2

2

?y 4)

?Fx??2x?2xy2?2?x?0,?

解方程組 ?Fy??4y?2x2y?2?y?0,

得可能極值點:(0,2),(???x2?y2?4?0,F??

,其對應函

數值為f(0,2)?8,f(比較函數值2,0,4,8,

74

?

74

.

,知f(x, y)在區域D上的最大值為8,最小值為0.

(18) (本題滿分10分) 計算曲面積分 I?

??

?

xzdyd?2z

2

zyd?z3dxx ,ydxdy

其中?為曲面z?1?x?

2

y

4

(0?z?1)的上側。

【分析】 本題曲面?不封閉,可考慮先添加一平面域使其封閉,在封閉曲面所圍成的

區域內用高斯公式,而在添加的平面域上直接投影即可。

【詳解】 補充曲面:?1:x?

I?

2

y

2

4

?1,z?0,取下側. 則

??

???1

xzdydz?2zydzdx?3xydxdy???xzdydz?2zydzdx?3xydxdy

?1

=???(z?2z)dxdydz?

?

??3xydxdy

D

2

其中?為?與?1所圍成的空間區域,D為平面區域x? 由于區域D關于x軸對稱,因此??3xydxdy?0. 又

D

1

y

2

4

?1.

???(z?2z)dxdydz?3???zdxdy=3?zdz??dxdy?3?z?2?(1?z)dz??.

?

?

Dz

1

其中Dz:x?

2

y

2

4

?1?z.

(19) (本題滿分11分)

設函數f(x), g(x)在[a, b]上連續,在(a, b)內具有二階導數且存在相等的最大值,f(a)=g(a),

f(b)=g(b), 證明:存在??(a,b),使得f??(?)?g??(?).

【分析】 需要證明的結論與導數有關,自然聯想到用微分中值定理。事實上,若令

F(x)?f(x)?g(x),則問題轉化為證明F??(?)?0, 只需對F?(x)用羅爾定理,關鍵是找

到F?(x)的端點函數值相等的區間(特別是兩個一階導數同時為零的點),而利用F(a)=F(b)=0, 若能再找一點c?(a,b),使得F(c)?0,則在區間[a,c],[c,b]上兩次利用羅爾定理有一階導函數相等的兩點,再對F?(x)用羅爾定理即可。

【證明】 構造輔助函數F(x)?f(x)?g(x),由題設有F(a)=F(b)=0. 又f(x), g(x)在(a, b)內具有相等的最大值, 不妨設存在x1?x2, x1,x2?(a,b)使得

f(x1)?M?maxf(x),g(x2)?M?maxg(x),

[a,b]

[a,b]

若x1?x2,令c?x1, 則F(c)?0.

若x1?x2,因F(x1)?f(x1)?g(x1)?0,F(x2)?f(x2)?g(x2)?0,從而存在

c?[x1,x2]?(a,b),使F(c)?0.

在區間[a,c],[c,b]上分別利用羅爾定理知,存在?1?(a,c),?2?(c,b),使得

F?(?1)?F?(?2)?0.

再對F?(x)在區間[?1,?2]上應用羅爾定理,知存在??(?1,?2)?(a,b),有

F??(?)?0, 即 f??(?)?g???(

.)

(20) (本題滿分10分)

?

設冪級數?anxn在(??,??)內收斂,其和函數y(x)滿足

n?0

y???2xy??4y?0,y(0)?0,y?(0)?1.

(I) 證明:an?2?

2n?1

an,n?1,2,?;

(II) 求y(x)的表達式.

【分析】 先將和函數求一階、二階導,再代入微分方程,引出系數之間的遞推關系。

?

?

n

?

n

【詳解】 (I)記y(x)=?anx, 則y??

n?0

?na

n?1

x

n?1

,y???

?n(n?1)a

n?2

n

x

n?2

,代入微分方程

y???2xy??4y?0,有

?

?

?

n

n

?n(n?1)a

n?2?

xn

n?2

?2?nanx?4?anx?0,

n?1

n?0

?

?

?(n?

n?0

2)n(?

1a)n?2

n

x?

?2

n?0

n

nnax?

n

?4

n?0

n

n

ax? 0,

故有 (n?2)n(?1a)?n?2即 an?2?

2n?1

n2na?

4a? 0,

an,n?1,2?, ;

(II) 由初始條件y(0)?

an?2?

2n?1

0y?,1n!

(?0)知,a0?0,a1?1. 于是根據遞推關系式. 故

?

an, 有a2n?0,a2n?1?

?

n

?

2n?1

y(x)=?anx =?a2n?x

n?0

n?0

?

?n!

n?0

1

?

x

2n?1

=x?

n?0

1n!

(x)?xe.

2nx

2

(21) (本題滿分11分)

設線性方程組

?x1?x2?x3?

?x1?2x2?ax3

?x?4x?a2x

23?1

?0,

?0, ① ?0

與方程

x1?2x2?x3?a?1 ②

有公共解,求a的值及所有公共解.

【分析】 兩個方程有公共解就是①與②聯立起來的非齊次線性方程組有解.

【詳解】 將①與②聯立得非齊次線性方程組:

?0,?x1?x2?x3

?

?0,?x1?2x2?ax3

③ ?2

x?4x?ax?0,23?1

?x?2x?x  ?a?1.23?1

若此非齊次線性方程組有解, 則①與②有公共解, 且③的解即為所求全部公共解. 對③的增廣矩陣A作初等行變換得:

?1

??1

A??

1??1?

1242

1aa

2

1

0??1??0??0

??0?0??

?0a?1???

1100

1a?1(a?2)(a?1)

1?a

0?

?0?

. 0??a?1??

2007年考研數一答案篇六:2007年全國碩士研究生入學考試數學一真題及答案詳解

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碩士研究生入學考試

2007數一、數二、數三、數四試題完整版

試題評析與詳解

1.試題源于網上資料的整理與摘編,所有試題以國家正式公布的版本為準。

2.2007數一、二、三、四試題共用題達到空前比例。

結論:四個試卷難易程度趨于相同。

3.四個試卷特點進一步反映了水木艾迪教學輔導中強調的:重在基本概念的理解與基本計算的過硬??佳袛祵W考的是數學,并非物理(物理應用題目趨于淡化),更非經濟(數三、四試卷中具有經濟內容的題目趨于淡化),更確切說考研數學是考大學理工類數學三個學科。

4.這里提供的試題評析與詳解,是由水木艾迪考研數學命題研究中心的老師(清華教學科學系教師)對試題進行全面整編和分析,對許多題目,提供多個解法,分析考點及知識點的交叉運用。

希望這份資料對2008年考生提供重要參考與幫助。

限于時間,且沒得到官方正式版本,文內疏忽與錯誤在所難免,敬請讀者批評指正。

參與編寫的老師為: 劉坤林 譚澤光 俞正光 葉俊 葛余博 章紀民 均為清華大學數學科學系教授

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2007年全國碩士研究生入學統一考試數學一試題

試題詳解與評析 水木艾迪考研命題研究中心

一、 選擇題(本題共10小題,每小題4分,滿分40分,在每小題給的 四個選項中,只

有一項符合題目要求,把所選項前的字母填在題后括號內) (1)當x→0+時,與x等價的無窮小量是 (A)1?e

(B)ln

1+x

(C)+x?1 (D)1?cosx

1?x

x。

【解】 答案B。ln

1+x1+x

=x+o(x)+x+o(x)=x+o(x),因此ln~1?x1?x

考點:泰勒公式與等價無窮小量的正確運用,水木艾迪輔導的星級考點。參見水木艾迪考研

數學36計例1-1,1-2,1-3等題目。 (2)曲線y=

1

+ln(1+ex),漸近線的條數為 x

(A)0 (B)1 (C)2 (D)3

【解】答案D。垂直漸近線x=0,水平漸近線y=0(x→?∞),斜漸近線y=x(x→+∞)??键c:漸近線的實質是極限問題,應從單側極限入手考察單側漸近線的存在性。參見

水木艾迪考研數學36計例5-10,基礎班講義例4-24,強化班第2講例43。

(3)如圖,連續函數y=f(x)在區間[?3,?2],[2,3]上的圖像分別是直徑為1的上、下半圓周,在區間[?2,0],[0,2]上的圖形分別是直徑為2的上、下半圓周,設F(x)=下列結論正確的是

x

f(t)dt,則

35

F(?2) (B)F(3)=F(2) 4435

(C)F(?3)=F(2) (D)F(?3)=?F(?2)

44

(A)F(3)=?

【解】答案C。利用積分的幾何意義,并注意代數面積的概念(水木艾迪輔導的星級考點)。 (4)設函數f(x)在x=0處連續,下列命題錯誤的是 (A)若lim

f(x)f(x)+f(?x)=0,則f(0)=0 (B)若lim=0,則f(0)=0

x→0x→0xx

f(x)f(x)?f(?x)

(C)若lim存在,則f′(0) 存在 (D)若lim存在,則f′(0)存在

x→0x→0xx

【解】答案D。

考點:點連續概念,導數定義,無窮小量比階的概念與極限運算法則。(D)的成立不一定保證導致可導的兩個極限存在。

(5)設函數f(x)在(0,+∞)上具有二階導數,且f′′(x)>0,令un=f(n)=1,2,Ln,則下

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列結論正確的是

(A)若u1>u2,則{un}必收斂 (B)若u1>u2,則{un}必發散 (C)若u1<u2,則{un}必收斂 (D)若u1<u2,則{un}必發散 【解】答案D。畫出草圖,結論顯見。下面證明D:

u1<u2,則u2?u1>c>0,其中c是某個確定的正數,于是存在ξ1∈(1,2)使得

u2?u1f(2)?f(1)

==f′(ξ1)>c>0, 2?12?1

對任意x∈(ξ1,+∞),由f′′(x)>0,f′(x)單調增加, 得到f′(x)>f′(ξ1)>c>0,于是又存在ξ2∈(ξ1,x)使得f(x)=f(ξ1)+f′(ξ2)(x?ξ1)→+∞(x→+∞)。

考點:用Lagrange定理分析函數性質是水木艾迪考研數學強調的星級考點。參見水木艾迪考

研數學36計例5-3,基礎班講義例4-42,例4-43,強化班第2講例28。

(6)設曲線L:f(x,y)=1(f(x,y)具有一階連續偏導數),過第Ⅱ象限內的點M和第Ⅳ象限內的點N,T為L上從點M到點N的一段弧,則下列小于零的是 (A)(C)

∫∫

T

f(x,y)dx (B)∫f(x,y)dy

T

T

f(x,y)ds (D)∫fx′(x,y)dx+fy′(x,y)dy

T

【解】答案:(B)

解釋:(A)曲線過第Ⅱ象限內的點M和第Ⅳ象限內的點N,T為L上從點M到點N的一段弧,

T

f(x,y)dx=∫1dx=x(N)?x(M)>0,其中x(M),x(N)分別表示M,N的x坐標。

T

(B)f(x,y)dy=

T∫其中y(M),y(N)分別表示M,N的y坐標。 ∫1dy=y(N)?y(M)<0:

TT

(C)(D)

T

f(x,y)ds=∫1ds=弧長>0

fx′(x,y)dx+fy′(x,y)dy∫0dx+0dy=0

T

T

考點:第一類、第二類曲線積分的概念。參見水木艾迪考研數學2007模擬試題一套數一5題。水木艾迪考研數學36計之19。

(7)設向量組α1,α2,α3線性無關,則下列向量組線性相關的是 (A)α1?α2,α2?α3,α3?α1 (B)α1+α2,α2+α3,α3+α1 (C)α1?2α2,α2?2α3,α3?2α1 (D)α1+2α2,α2+2α3,α3+2α1 【解】答案A。

因為(α1?α2)+(α2?α3)+(α3?α1)=0,所以α1?α2,α2?α3,α3?α1線性相關。

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考點:線性相關與線性無關的概念。參考:水木艾迪強化班向量例17。

?2?1?1??1???

(8)設矩陣A=??12?1?,B=?0

??1?12??0???

10

0??

0?,則A與B 0??

(A)合同,且相似 (B)合同,但不相似

(C)不合同,但相似 (D)既不合同,也不相似 【解】答案B。

因為A的特征值為3,3,0,所以A和B不相似。又A和B的秩都為2且正慣性指數也都為2,所以A和B合同。

考點:矩陣的相似與合同概念,相似矩陣的性質,合同矩陣的性質,慣性定理等。

參考:水木艾迪基礎班二次型例2例3。強化班二次型例2,沖刺班特征值例35。36計之例23-5。

(9)某人向統一目標獨立重復射擊,每次射擊命中目標的概率為p(0<p<1),則此人第4次射擊恰好第2次命中目標的概率為

(A) 3p(1?p) (B) 6p(1?p) (C) 3p(1?p) (D) 6p(1?p) 【解析與點評】P{第4次射擊恰好第2次命中目標}

=P{第4次射擊命中,且前3次中恰好命中1次}

1

=p?C3p(1?p)2=3p2(1?p)2

222222

故選C。

本題是Bernoulli試驗中的典型問題,可參見水木艾迪2006考研數學基礎班講義例1.33,強化班第一講問題7,考研36技之例29-25等題目和內容。

(10) 設隨機變量(X,Y)服從二維正態分布,且X與Y不相關,fX(x),fY(y)分別表示X,

Y的概率密度,則在Y=y的條件下,X的條件概率密度fXY(xy)為( A )。

(A)fX(x) (B) fY(y) (C) fX(x)fY(y) (D)

fX(x)

fY(y)

【解析與點評】由于(X,Y)服從二維正態分布,且X與Y不相關,所以X與Y相互獨立,從而fXY(xy)=

f(x,y)

=fX(x),故選A.

fY(y)

本題主要考查了二維正態分布的不相關性與獨立性的等價關系,屬于最基本的內容。

二、填空題:11-16小題,每小題4分,共24分,請將答案寫在答題紙指定位置上。 (11)

2

1

1x

dx=__________。 x2

1

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【解】

2

1

11dx=?ed=e∫1x2x

2

1

x1x

11x2

1

=e2。 2

1

考點:水木艾迪考研數學強調:湊微分法是處理積分問題最重要的基礎。 (12) 設f(u,v)是二元可微函數,z=f(,),則x

yxxy?z?z?y=__________。 ?x?y

【解】答案:?fu′

yxyx

+fv′?fu′+fv′ xyxy

?1??z?x??z??y??1?′′?,=fu′?2?+fv′?=f+f??uv??y??y??y2?? x?xx????????x

?z?zyxyx?y=?fu′+fv′?fu′+fv′ ?x?yxyxy

?yx?

′′=?2?f?f?v?ux? y??

考點:具有抽象函數記號的多元復合函數的偏導數計算,這是一道很單純的題目,參見水木

艾迪基礎班第10講19題。

(13)二階常系數非齊次線性微分方程y′′?4y′+3y=2e【解】齊次解為y=C1e+C2e

x

3x

2x

的通解為y=__________。

2x

,設特解為y=Ae

,由待定系數法得到

4Ae2x?8Ae2x+3Ae2x=2e2x,A?2, 答案:y=C1ex+C2e3x?2e2x。

。這是 考點:常規的二階常系數非齊次線性微分方程解法( 非齊次項為Pn(x)eαx型)的求解)水木艾迪考研數學強調的星級考點之一,有關處理方法及相同例題參見強化班第8講例6、7、

8、9、10等題目,水木艾迪考研數學36計之11計的說明與例題。 (14)設曲面Σ:x+y+z=1,則

(x+y)dS=____________。

Σ

【解】(方法1)由域與被積函數的對稱性有:

xdS=0,y=x=z

1

(x+y)dS=y=(y+x+z 3∑∑∑∑∑

=

1184

++==?=()xyzdSdS 33323∑∑

(方法2)利用物理意義

2007年考研數一答案篇七:2007考研數一真題及解析

2007年全國碩士研究生入學統一考試數學一試題

一、選擇題:110小題,每小題4分,共40分,下列每題給出的四個選項中,只有一個選項符合題目要求,請將所選項前的字母填在答題紙指定位置上. (1) 當x?

0( )

?

A

.1?

B(2) 曲線y?

C1

D.1?c

1

?ln(1?ex)漸近線的條數為( ) x

A. 0 B.1 C.2 D.3

(3) 如圖,連續函數y?f(x)在區間??3,?2?,?2,3?上的圖形分別是直徑為1的上、下半圓周,在區間

下半圓周,設F(x)??f(t)dt,則下列結論正確的是( ) ??2,0?,?0,2?上圖形分別是直徑為2的上、

0x

35

A.F(3)??F(?2) B.F(3)?F(2)

4435

C.F(?3) ?F(2) D.F(?3)??F(?2)

44

(4) 設函數f(x)在x?0連續,則下列命題錯誤的是( )

f(x)f(x)?f(?x)存在,則f(0)?0 B.若lim存在,則f(0)?0

x?0x?0xx

f(x)f(x)?f(?x)

C.若lim存在,則f?(0)存在 D.若lim存在,則f?(0)存在

x?0x?0xxA.若lim

(5) 設函數f(x)在(0,??)上具有二階導數,且f??(x)?0,令un?f(n)(n?1,2,)是( )

,則下列結論正確的

A. 若u1?u2,則?un?必收斂 B. 若u1?u2,則?un?必發散 C. 若u1?u2,則?un?必收斂 D. 若u1?u2,則?un?必發散

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1

(6) 設曲線L:f(x,y)?1(f(x,y)具有一階連續偏導數)過第Ⅱ象限內的點M和第IV象限內的點N,?

為L上從點M到點N的一段弧,則下列積分小于零的是( )

A.

?

?

?

f(x,y)dx B.

?

?

f(x,y)dy

C.

?

f(x,y)ds D.

?

?

fx?(x,y)dx?fy?(x,y)dy

(7) 設向量組?1,?2,?3線性無關,則下列向量組線性相關的是( )

A.?1??2,?2??3,?3??1 B.?1??2,?2??3,?3??1

C.?1?2?2,?2?2?3,?3?2?1 D.?1?2?2,?2?2?3,?3?2?1

?2?1?1??100?????(8) 設矩陣A??12?1,B?010,則A與B( ) ????????1?12???000??

A. 合同,且相似 B. 合同,但不相似

C. 不合同,但相似 D. 既不合同,也不相似

(9) 某人向同一目標獨立重復射擊,每次射擊命中目標的概率為p(0?p?1),則此人第4次射擊恰好第2次命中目標的概率為 ( )

A.3p(1?p)2 B.6p(1?p)2

C.3p2(1?p)2 D.6p2(1?p)2

(10) 設隨機變量(X,Y)服從二維正態分布,且X與Y不相關,fX(x),fY(y)分別表示X,Y的概率密度,則在Y?y條件下,X的條件概率密度fX(xy)為( )

A.fX(x) B.fY(y)

C.fX(x)fY(y) D.

fX(x)

fY(y)

二、填空題:11-16小題,每小題4分,共24分,請將答案寫在答題紙指定位置上. (11)

?

2

1

11

xdx?_________ 3x

?z

?______ ?x

2

yx

(12) 設f(u,v)為二元可微函數,z?f(x,y),則

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(13) 二階常系數非齊次線性微分方程y???4y??3y?2e2x的通解為y?_____ (14) 設曲面?:x?y?z?1,則

??(x?y)dS?_____

?

?0?0?(15) 設距陣A??0??0100?

?010?

,則A3的秩為_____

001?

?000?

1

的概率為______ 2

(16) 在區間(0,1)中隨機地取兩個數,則這兩數之差的絕對值小于

三、解答題:17-24小題,共86分.請將解答寫在答題紙指定的位置上.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

(17)(本題滿分10分)

求函數f(x,y)?x2?2y2?x2y2,在區域D?(x,y)x?y?4,y?0上的最大值和最小值.

(18)(本題滿分11分)

?

22

?

y2

(0?z?1)的上側. 計算曲面積分 I???xzdydz?2zydzdx?3xydxdy, 其中?為曲面z?1?x?4?

2

(19)(本題滿分11分)

設函數f(x),g(x)在?a,b?上連續,在(a,b)內二階可導且存在相等的最大值,又f(a)=g(a),

f(b)=g(b),證明:存在??(a,b),使得f''(?)?g''(?).

(20)(本題滿分10分)

設冪級數

?ax

nn?0

?

n

在(??,??)內收斂,其和函數y(x)滿足y???2xy??4y?0,y(0)?0,y?(0)?1

(I) 證明an?2?

2

an,n?1,2,n?1

(II) 求y(x)的表達式

(21)(本題滿分11分)

?x1?x2?x3?0?

設線性方程組?x1?2x2?ax3?0 (1)

?2

?x1?4x2?ax3?0

與方程 x1?2x2?x3?a?1

(2)

3

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有公共解,求a得值及所有公共解.

(22)(本題滿分11分)

設3階實對稱矩陣A的特征值?1?1,?2?2,?3??2,?1?(1,?1,1)T是A的屬于?1的一個特征向量,記B?A?4A?E,其中E為3階單位矩陣.

(I) 驗證?1是矩陣B的特征向量,并求B的全部特征值與特征向量; (II) 求矩陣B.

(23)(本題滿分11分)

5

3

?2?x?y,

f(x,y)?設二維隨機變量(X,Y)的概率密度為 ?

?0,

(I) 求P?X?2Y?;

(II) 求Z?X?Y的概率密度fZ(z).

(24)(本題滿分11分)

設總體X的概率密度為

0?x?1,0?y?1.其他

?1?2?,??1

f(x;?)??,

2(1??)??0,??

0?x??,

??x?1,.

其他

其中參數?(0???1)未知,X1,X2,...Xn是來自總體X的簡單隨機樣本,X是樣本均值.

(I) 求參數?的矩估計量?;

(II) 判斷4X是否為?的無偏估計量,并說明理由.

2

2

2007年全國碩士研究生入學統一考試數學一試題解析

一、選擇題 (1)【答案】B 【詳解】

方法1:排除法:由幾個常見的等價無窮小,當x?0時,

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x

e?1x1

1xx;1?cosx?2sin222

x

2x2

2()?,當x?0

??0,所以22

1

2,可以排除A、C、D,所以選(B). 2

1?方法2: (1

1?

??ln[1

?

?

當x?

時,11?0,又因為

x?0時,ln?1?x?

x

,

所以ln[1?

~~x?

1~(B).

?

方法3

:limx?0?

??lim lim

?x?0?x?0?

?lim?

x?0

1??lim?

x?

1?x

1?x

?

A?,則A

1?B?1?x??4x?2

1?x?對應系數相等得:A?

?B?1,所以

原式?lim?

x?0

1?

x

?lim?

x?0???lim?

x?0

lim?0?1?1,選(B). ?

x?0

(2)【答案】D

【詳解】因為limy?lim?

x?0

1?1?

?ln(1?ex)??lim?limln(1?ex)??,

x?0x??x?0xx?0

所以x?0是一條鉛直漸近線;

資料搜集者QQ1836989006 微信1836989006

5

2007年考研數一答案篇八:07年考研數一及解析

2007年數學一試題分析詳解

一、選擇題:(本題共10小題,每小題4分,共40分. 每小題給出的四個選項中,只有一項符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內) (1)當x?

0?(A)

1?

(B) ln

(C)

1.

(D) 1?cos. 【 】

【答案】 應選(B).

【分析】 利用已知無窮小量的等價代換公式,盡量將四個選項先轉化為其等價無窮小量,再進行比較分析找出正確答案.

【詳解】當x?

0?時,有1?1?cos

~

12

2

??(12

?1)~

1~

;

?x. 利用排除法知應選(B).

【評注】

本題直接找出ln

但由于另三個的等價無窮小

很容易得到,因此通過排除法可得到答案。事實上,

x?0

1?x?lim?

x?0

lim?

2t

?

1

t

lim?

t?0

ln(1?t)?ln(1?t)

t

2

=lim?t?0

2

?lim2t(1?t)?1?t?1.

2?

t?01(1?t)(1?t)

2

(2)曲線y?

1x

?ln(1?e),漸近線的條數為

x

(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3. 【 】

【答案】 應選(D).

【分析】 先找出無定義點,確定其是否為對應垂直漸近線;再考慮水平或斜漸近線。 【詳解】 因為lim[

x?0

1x

?ln(1?e)]??,所以x?0為垂直漸近線;

x

又 lim[

x???

1x

?ln(1?e)]?0,所以y=0為水平漸近線;

x

進一步,lim

yx

x???

?lim[

x???

1x

2

?

ln(1?e)

x

x

]?lim

ln(1?e)

x

x

x???

=lim

e

xx

x???

1?e

?1,

limy[??1x?]

x???

1

l?[x???x

?x

?len(?1x=lim)[ln(1]?e)?x]

x???

?x

xx

=lim[lne(1?e)?x]?limln(1?e)?0,

x???

x???

x

于是有斜漸近線:y = x. 故應選(D).

【評注】 一般來說,有水平漸近線(即limy?c)就不再考慮斜漸近線,但當limy不

x??

x??

存在時,就要分別討論x???和x???兩種情況,即左右兩側的漸近線。本題在x<0 的一側有水平漸近線,而在x>0的一側有斜漸近線。關鍵應注意指數函數ex當x??時極限不存在,必須分x???和x???進行討論。

(3)如圖,連續函數y=f(x)在區間[?3,?2],[2,3]上的圖形分別是直徑為1的上、下半圓周,在區間[?2,0],[0,2]的圖形分別是直徑為2的下、上半圓周,設F(x)?下列結論正確的是

(A) F(3)??(C) F(?3)?

34

34

F(?2). (B) F(3)?

54

F(2). 54

F(?2). 【 】

x0

?

f(t)dt.則

F(2). (D) F(?3)??

【答案】 應選(C).

【分析】 本題考查定積分的幾何意義,應注意f(x)在不同區間段上的符號,從而搞清楚相應積分與面積的關系。

【詳解】 根據定積分的幾何意義,知F(2)為半徑是1的半圓面積:F(2)?F(3)是兩個半圓面積之差:F(3)?

F(?3)?

1

0?3

12

?,

12332

[??1???()]??=F(2), 2284

?

?30

f(x)dx???

f(x)dx?

?

30

f(x)dx?F(3)

因此應選(C).

【評注1】 本題F(x)由積分所定義,應注意其下限為0,因此 F(?2)?

?2

0?2

?

f(x)dx?

?

?f(x)dx,也為半徑是1的半圓面積??芍?A) (B) (D)均不成立.

【評注2】若試圖直接去計算定積分,則本題的計算將十分復雜,而這正是本題設計的

巧妙之處。

(4)設函數f(x)在x=0處連續,下列命題錯誤的是: (A) 若lim

f(x)

x?0

(C) 若lim

xf(x)x

存在,則f(0)=0. (B) 若lim

f(x)?f(?x)x

f(x)?f(?x)

x

存在,則f(0)=0. 存在,則f?(0)存在

【 】

x?0

x?0

存在,則f?(0)存在. (D) 若lim

x?0

【答案】 應選(D).

【分析】 本題為極限的逆問題,已知某極限存在的情況下,需要利用極限的四則運算

等進行分析討論。

【詳解】(A),(B)兩項中分母的極限為0,因此分子的極限也必須為0,均可推導出f(0)=0. 若lim

f(x)x

x?0

存在,則f(0)?0,f?(0)?lim

f(x)?f(0)

x?0

x?0

?lim

f(x)x

x?0

?0,可見(C)也正確,

故應選(D). 事實上,可舉反例:f(x)?x在x=0處連續,且

f(x)?f(?x)

x

lim

x?0

=lim

x??xx

x?0

?0存在,但f(x)?x在x=0處不可導。

(5)設函數f (x)在(0,??)上具有二階導數,且f??(x)?0. 令un?f(n)(n?1,2,?,), 則下列結論正確的是:

(A) 若u1?u2,則{un}必收斂. (B) 若u1?u2,則{un}必發散.

(C) 若u1?u2,則{un}必收斂. (D) 若u1?u2,則{un}必發散. 【 】

【答案】 應選(D).

【分析】 可直接證明或利用反例通過排除法進行討論。

【詳解】 設f (x)=x2, 則f (x)在(0,??)上具有二階導數,且f??(x)?0,u1?u2,但

{un}?{n}發散,排除(C); 設f(x)=

2

1x

, 則f (x)在(0,??)上具有二階導數,且

1

{收斂,f??(x)?0,u1?u2,但{un}?排除(B); 又若設f(x)??lnx,則f(x)在(0,??)上n

具有二階導數,且f??(x)?0,u1?u2,但{un}?{?lnn}發散,排除(A). 故應選(D).

【評注】也可直接證明(D)為正確選項. 若u1?u2,則存在k?0,使得u2?u1?k?0. 在區間[1,2]上應用拉格朗日中值定理, 存在?1?(1,2)使得

u2?u12?1

?

f(2)?f(1)2?1

?f?(?1)?k?0,

又因為在(0,??)上f??(x)?0, 因此f?(x)在(?1,??)上單調增加,于是對?x?(?1,??)有

f?(x)?f?(?1)?k?0.

在區間[?1,x]上應用拉格朗日中值定理, 存在?2?(?1,x)使得

f?(1)??f?(2

f(x)?f(?1)

x??1

?f?(?2),

即 f(x)?故應選(D).

)x(??1

?)??,x(?? ?)

(6)設曲線L:f(x,y)?1(f(x,y)具有一階連續偏導數),過第II象限內的點M和第IV象限內的點N,T為L上從點M到點N的一段弧,則下列小于零的是

(A)

?

T

f(x,y)dx. (B) f(x,y)ds. (D)

??

T

f(x,y)dy.

fx?(x,y)dx?fy?(x,y)dy. 【 】

(C)

?

TT

【答案】 應選(B).

【分析】 直接計算出四個積分的值,從而可確定正確選項。

【詳解】 設M 、N點的坐標分別為M(x1,y1),N(x2,y2),x1?x2,y1?y2. 先將曲線方程代入積分表達式,再計算有:

??

T

f(x,y)dx?f(x,y)ds?

??

T

dx?x2?x1?0; ds?s?0;

?

T

f(x,y)dy?

?

T

dy?y2?y1?0;

TT

?

T

fx?(x,y)dx?fy?(x,y)dy?

?

T

df(x,y)?0.

故正確選項為(B).

【評注】 對于線、面積分,應盡量先將線、面方程代入被積表達式化簡,然后再積分.

(7) 設向量組?1,?2,?3線性無關,則下列向量組線性相關的是

(A) ?1??2,?2??3,?3??1. (B) ?1??2,?2??3,?3??1.

(C) ?1?2?2,?2?2?3,?3?2?1. (D) ?1?2?2,?2?2?3,?3?2?1. 【 】 【答案】應選(A) .

【詳解1】直接可看出(A)中3個向量組有關系 (?1??2)?(?2??3)??(?3??1), 即(A)中3個向量組有線性相關, 所以選(A) . 【詳解2】用定義進行判定:令

x1(?1??2)?x2(?2??3)?x3(?3??1)?0,

得 (x1?x3)?1?(?x1?x2)?2?(?x2?x3)?3?0. ?x3?0,?x1    

?

?0, 因?1,?2,?3線性無關,所以 ??x1?x2   

?   ?x2?x3?0.?

1

01?1

?1

0?0, 1

又 ?1

故上述齊次線性方程組有非零解, 即?1??2,?2??3,?3??1線性相關. 類似可得(B), (C),

(D)中的向量組都是線性無關的.

這是一個基本題,完全類似的問題見《經典講義》P314例3.5和輔導班上對應章節的例題 ?2?

(8) 設矩陣A???1

??1?

?12?1

?1??1???1?, B??0

?02???

010

0?

?

0?, 則A與B 0??

(A)合同, 且相似. (B) 合同, 但不相似 .

(C)不合同, 但相似. (D) 既不合同, 又不相似. 【 】

【答案】應選 (B) .

【詳解】 由|?E?A|?0 得A的特征值為0, 3, 3, 而B的特征值為0, 1, 1,從而A與B不相似.

又r(A)=r(B)=2, 且A、B有相同的正慣性指數, 因此A與B合同. 故選(B) .

【評注】1)若A與B相似, 則| A |=| B |;r(A)= r(B);tr(A)= tr(B); A與B有相同的特征值. 2)若A、B為實對稱矩陣, 則A與B合同? r(A)= r(B), 且A、B有相同的正慣性指數. 完全類似的問題見《歷年真題(一)》P307的小結

(9) 某人向同一目標獨立重復射擊,每次射擊命中目標的概率為p(0<p<1), 則此人第4次射擊恰好第2次命中目標的概率為

(A) 3p(1?p)2. (B) 6p(1?p)2.

(C) 3p2(1?p)2. (D) 6p2(1?p)2. 【 】 【答案】應選 (C) .

【詳解】“第4次射擊恰好第2次命中”表示4次射擊中第4次命中目標, 前3次射擊中有1次命中目標. 由獨立重復性知所求概率為:C3p(1?p). 故選(C) .

(10) 設隨機變量(X,Y)服從二維正態分布,且X與Y不相關,fX(x)fY(y)分別表示X,Y的概率密度,則在Y=y的條件下,X的密度fX|Y(x|y)為

fX(x)fY(y)

1

2

2

(A) fX(x). (B) fY(y). (C ) fX(x)fY(y). (D) 【答案】應選 (A) .

. 【 】

【詳解】因(X,Y)服從二維正態分布,且X與Y不相關,故X與Y相互獨立,于是

fX|Y(x|y)=fX(x). 因此選(A) .

【評注】對于二維連續型隨機變量(X,Y),有

X與Y相互獨立? f (x, y)=fX(x)fX(y)?fX|Y(x|y)=fX(x)?fY|X(y|x)=fY(y).

二、填空題:(11-16小題,每小題4分,共24分. 把答案填在題中橫線上.)

2007年考研數一答案篇九:考研數三完整版(歷年真題+答案詳解)之_2007年真題

2007年全國碩士研究生入學統一考試

數學三試題

一.選擇題(本題共10分小題,每小題4分,滿分40分,在每小題給的四個選項中,只有一項符合題目要求,把所選項前的字母填在后邊的括號內) (1) 當x?

0 )

?

A

.1?

B.ln? )

C1

D.1?c

(2) 設函數f(x)在x?0處連續,下列命題錯誤的是: ( )

f(x)f(x)?f(?x)

存在,則f(0)?0 B.若lim存在,則f(0)?0

x?0x?0xx

f(x)f(x)?f(?x)

C..若lim存在,則f'(0)存在 D.若lim存在,則f'(0)存在

x?0x?0xxA.若lim

(3) 如圖.連續函數y?f(x)在區間??3,?2?,?2,3?上的圖形分別是直徑為1的上、下半圓周,在區間??2,0?,?0,2?上圖形分別是直徑為2的上、下半圓周,設F(x)?則下列結論正確的是:( )

?

x

f(t)dt,

35

A..F(3)??F(?2) B.F(3)?F(2)

4435

C.F(?3) ??F(2) D.F(?3)?F(?2)

44

(4) 設函數f(x,y)連續,則二次積分

??

?

2

dx?

1

sinx

f(x,y)dy等于( )

?

A. C.

?

10

1

dy?

2

?

??arcsinx

f(x,y)dx B.

f(x,y)dx D.

?

?

1

dy?

??arcsiny

??arcsiny

f(x,y)dx

f(x,y)dx

?dy?

??arcsiny1

dy?

2

(5) 設某商品的需求函數為Q?160?2?,其中Q,?分別表示需要量和價格,如果該

商品需求彈性的絕對值等于1,則商品的價格是( )

A. 10 B. 20 C.30 D.40

(6) 曲線y?

1

?ln(1?ex),漸近線的條數為( ) x

A. 0 B.1 C.2 D.3

( )

(7)設向量組線性無關

(A)?1??2,?2??1,?3??1 (B)?2??1,?2??3,?3??1 (C)?1?2?2,?2?2?3,?3?2?1 (D)?1?2?2,?2?2?3,?3?2?1

?2?1?1??100?????

(8)設矩陣A???12?1?,B??010?則A與B( )

??1?12??000?????

(A)合同,且相似 (B) 合同,但不相似

(C) 不合同,但相似 (D) 既不合同,也不相似

(9)某人向同一目標獨立重復射擊,每次射擊命中目標的概率為,則此人第4次射擊恰好第2次命中目標的概率為 ( )

(A)3p(1?p)2 (B)6p(1?p)2 (C)3p2(1?p)2 (D)6p2(1?p)2

(10) 設隨機變量(X,Y)服從二維正態分布,且X與Y不相關,fx(x),fy(y)分別表示X, Y的概率密度,則在Y?y條件下,X的條件概率密度fX(xy)為( ) (A)fX(x) (B)fy(y) (C)fx(x)fy(y) (D)

fx(x)

fy(y)

二、填空題:11-16小題,每小題4分,共24分,請將答案寫在答題紙指定位置上

x3?x2?1

(sinx?cosx)?________. (11)lim

x??2x?x3

(12)設函數y?

1(n)

,則y(0)?_________. 2x?3

(13)設f(u,v)是二元可微函數,z?f(,),則

yxxy?z?z

?y?________. ?x?y

(14)微分方程

dyy1y3

??()滿足ydxx2x

x?1

?1的特解為?0?0

(15)設距陣A??

?0??0100?

?010?

,則A3的秩為_______.

001?

?000?

1

的概率為________. 2

(16)在區間(0,1)中隨機地取兩個數,這兩數之差的絕對值小于

三、解答題:17-24小題,共86分.請將解答寫在答題紙指定的位置上.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟. (17)(本題滿分10分) 設函數y?y(x)由方程ylny?x?y?0確定,試判斷曲線y?y(x)在點(1,1)附近

的凹凸性. (18)(本題滿分11分) 設二元函數

?x2.?

f(x,y)?計算二重積分

D

x?y?1.1?x?y?2.

??f(x,y)d?.其中D??(x,y)

x?y?2

?

(19)(本題滿分11分)

設函數f(x),g(x)在?a,b?上內二階可導且存在相等的最大值,又f(a)=g(a),

f(b)=g(b),證明:

(Ⅰ)存在??(a,b),使得f(?)?g(?); (Ⅱ)存在??(a,b),使得f''(?)?g''(?). (20)(本題滿分10分)

將函數f(x)?

1

展開成x?1的冪級數,并指出其收斂區間.

x2?3x?4

(21)(本題滿分11分)

?x1?x2?x3?0?

設線性方程組?x1?2x2?ax3?0

?2

?x1?4x2?ax3?0與方程x1?2x2?x3?a?1

(22)(本題滿分11分)

設3階實對稱矩陣A的特征值?1?1,?2?2,?3??2,?1?(1,?1,1)T是A的屬于?1的一個特征向量.記B?A?4A?E,其中E為3階單位矩陣.

(Ⅰ)驗證?1是矩陣B的特征向量,并求B的全部特征值與特征向量; (Ⅱ)求矩陣B. (23)(本題滿分11分)

設二維隨機變量(X,Y)的概率密度為

5

3

(1)

(2)

有公共解,求a的值及所有公共解

?2?x?y,0?x?1,0?y?1.

f(x,y)??

?0,其他

(Ⅰ)求P?X?2Y?;

(Ⅱ)求Z?X?Y的概率密度fZ(z). (24)(本題滿分11分)

設總體X的概率密度為

?1

?2?,0?x??,??1

f(x;?)??,??x?1,.

?2(1??)?0,其他??

其中參數?(0???1)未知,X1,X2,...Xn是來自總體X的簡單隨機樣本,X是樣本均值.

?; (Ⅰ)求參數?的矩估計量?

(Ⅱ)判斷4X是否為?的無偏估計量,并說明理由.

2

2

2007年考研數學(三)真題

一、選擇題(本題共10分小題,每小題4分,滿分40分,在每小題給的四個選項中,只有一項符合題目要求,把所選項前的字母填在后邊的括號內) (7) 當x?

0B)

?

A

.1?

B.ln? )

C1

D.1?c

(8) 設函數f(x)在x?0處連續,下列命題錯誤的是: (D)

f(x)f(x)?f(?x)

存在,則f(0)?0 B.若lim存在,則f(0)?0

x?0x?0xx

f(x)f(x)?f(?x)

C..若lim存在,則f'(0)存在 D.若lim存在,則f'(0)存在

x?0x?0xxA.若lim

(9) 如圖.連續函數y?f(x)在區間??3,?2?,?2,3?上的圖形分別是直徑為1的上、下半圓周,在區間??2,0?,?0,2?上圖形分別是直徑為2的上、下半圓周,設F(x)?則下列結論正確的是:(C )

?

x

f(t)dt,

35

F(?2) B.F(3)?F(2) 4435

2) C.F(?3) ??F(2) D.F(?3)?F(?

44

A..F(3)??

(10) 設函數f(x,y)連續,則二次積分 A. C.

??dx?

2

?1

sinx

f(x,y)dy等于(B)

xf(x,y)d

?

10

1

dy?

2

?

??arcsinx

f(x,y)dx B.

f(x,y)d x D.

?

?

1

dy?

?

??arcysin

??arcsiny

?dy??

??arcysin1

dy??

f(x,y)dx

2

(11) 設某商品的需求函數為Q?160?2?,其中Q,?分別表示需要量和價格,如果該商品需求彈性的絕對值等于1,則商品的價格是(D)

A. 10 B. 20 C.30 D.40 (12) 曲線y?

1

?ln(1?ex),漸近線的條數為(D) x

A. 0 B.1 C.2 D.3

(A)

(7)設向量組線性無關

(A)?1??2,?2??1,?3??1 (B)?2??1,?2??3,?3??1 (C)?1?2?2,?2?2?3,?3?2?1 (D)?1?2?2,?2?2?3,?3?2?1

2007年考研數一答案篇十:2001年數一考研答案

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